การวัดระยะบนผิวทรงกลม



โดย นายสุรวิทย์ กองสาสนะ
ภาควิชาคณิตศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย



เราทราบกันดีแล้วว่าโลกของเรามีสัณฐานเกือบเป็นทรงกลม มีรัศมีประมาณ 4,000 ไมล์ การวัดระยะทางสั้นๆ บนผิวโลกนั้นอาจถือว่าเป็นการวัดบนผิวราบได้ แต่ถ้าจะวัดระยะทางที่ยาวมากๆ เช่น จากกรุงเทพฯ ไปยังกรุงลอนดอน ประเทศอังกฤษ เป็นการวัดไปบนผิวของทรงกลม ซึ่งมีวิธีการแตกต่างออกไปจากการวัดบนพื้นราบ


ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดบนผิวทรงกลมไม่ใช่เส้นตรงที่โยงจุดทั้งสองนั้น เพราะถ้าใช้เส้นตรงโยงจุดทั้งสองนั้น เราก็จะต้องเจาะทรงกลมเป็นอุโมงค์เพื่อโยงจุดเหล่านั้น ซึ่งไม่มีใครนิยมทำกัน


ทรงกลมเป็นผิวโค้งซึ่งจุดทุกจุดบนทรงกลมจะอยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่งเป็นระยะทางเท่ากันหมด จุดคงที่นี้อยู่ภายในทรงกลมและเรียกว่า จุดศูนย์กลางทรงกลม ระยะจากจุดศูนย์กลางถึงผิวทรงกลมเรียกว่า รัศมีทรงกลม รอยตัดระหว่างทรงกลมกับระนาบจะเป็นวงกลม และจะได้รอยตัดเป็นวงกลมใหญ่ที่สุด เมื่อระนาบนั้นผ่านจุดศูนย์กลางทรงกลม และเรียกวงกลมใหญ่ที่สุดนี้ว่า วงกลมใหญ่ และเรียกวงกลมอื่นๆ ว่า วงกลมเล็ก หรือจะกล่าวอีกอย่างหนึ่งก็ได้ว่า วงกลมเล็กเกิดจากการตัดระหว่างทรงกลมกับระนาบที่ไม่ผ่านจุดศูนย์กลางทรงกลม


เมื่อกำหนดจุดสามจุดซึ่งไม่อยู่บนเส้นตรงเดียวกันแล้ว เราจะเขียนระนาบให้ผ่านจุดทั้งสามนี้ได้เพียงหนึ่งระนาบเท่านั้น ดังนั้นเมื่อกำหนดจุดสองจุดบนผิวทรงกลม เราก็จะเขียนระนาบให้ผ่านจุดสองจุดนี้และผ่านจุดศูนย์กลางทรงกลมด้วยได้เพียงระนาบเดียวเท่านั้น ยกเว้นกรณีที่จุดทั้งสองเป็นจุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลาง นั่นคือจะมีวงกลมใหญ่เพียงวงเดียวเท่านั้นที่ผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้บนทรงกลม จุดสองจุดบนวงกลมจะแบ่งเส้นรอบวงออกเป็นสองส่วน ส่วนหนึ่งจะมีความยาวน้อยกว่าอีกส่วนหนึ่ง


ระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดสองจุดบนทรงกลม ก็คือความยาวของส่วนที่สั้นกว่าอีกส่วนหนึ่งของวงกลมใหญ่ที่ผ่านจุดทั้งสองนั้น นี่คือคำจำกัดความของระยะทางบนทรงกลม ตามรูป ระยะทาง A ไปยัง B คือความยาวของส่วนของเส้นรอบวงกลม ACB


เนื่องด้วยการหาระยะทางต่างๆ บนผิวทรงกลม เราวัดจากความยาวของส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ และวัดด้วยขนาดของมุมที่ส่วนโค้งของวงกลมนั้นปิดที่จุดศูนย์กลางของวงกลม ดังนั้นการบอกระยะทางบนผิวทรงกลมจึงกำหนดด้วยมุมเป็นองศาหรือเรเดียน ความยาวของส่วนโค้งครึ่งวงกลมใดๆ เท่ากับ 180 องศา หรือ π เรเดียน


มุมระหว่างวงกลมใหญ่สองวง คือมุมที่ระนาบที่บรรจุวงกลมใหญ่แต่ละวงกระทำต่อกัน เราเรียกมุมระหว่างวงกลมใหญ่นี้ว่า มุมทรงกลม (Spherical angle) ถ้า ABA' และ ACA' เป็นวงกลมใหญ่สองวง มุมระหว่างวงกลมใหญ่ทั้งสองคือมุม BOC โดยที่ BC เป็นส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ ซึ่งเกิดจากระนาบที่ตั้งฉากกับ AA' เราเรียก A และ A' ว่าเป็นขั้วของทรงกลม และเรียกวงกลมใหญ่ที่ตั้งฉากกับขั้วของทรงกลมว่า เส้นศูนย์สูตร วงกลมใหญ่ 3 วงที่ไม่ได้ตัดกันที่จุดๆ เดียวจะตัดกันถึง 6 จุด ทำให้ได้รูปสามเหลี่ยมทรงกลมต่างๆ กัน ดังนั้นสามเหลี่ยมทรงกลม ก็คือสามเหลี่ยมบนผิวทรงกลมซึ่งมีด้านทั้งสามเป็นส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ 3 วงนั่นเอง เรขาคณิตบนทรงกลมแตกต่างจากเรขาคณิตบนพื้นราบ เช่น มุมภายในของสามเหลี่ยมบนพื้นราบรวมกันจะเท่ากับ 180 องศาพอดี แต่มุมภายในของสามเหลี่ยมทรงกลมรวมกันจะมากกว่า 180 องศา แต่จะน้อยกว่า 540 องศา เป็นต้น


การศึกษาถึงความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของสามเหลี่ยมทรงกลมทำให้เกิดวิชาตรีโกณมิติทรงกลมขึ้น(Spherical trigonometry) ประโยชน์ของวิชานี้มีมากมาย เช่น ใช้ในการเดินเรือ การบิน การทำแผนที่ และการศึกษาดาราศาสตร์ เป็นต้น ผู้ที่สนใจอ่านเรื่อง อุปราคา และเรื่อง ท้องฟ้ากลางคืน จากสารานุกรมไทยสำหรับเยาวชน โดยพระราชประสงค์ในพระบาทสมเด็จพระเจ้าอยู่หัว เล่ม ๑ จะแลเห็นความสัมพันธ์ระหว่างทรงกลมและดาราศาสตร์อย่างมากมาย


การบอกตำแหน่งของตำบลต่างๆ บนโลก เรากำหนดโดยใช้ตัวเลขค่าละติจูดและลองติจูดของตำบลนั้น วงกลมใหญ่ที่ผ่านขั้วโลกเหนือ ขั้วโลกใต้ และผ่านเมืองกรีนิช ประเทศอังกฤษนั้น เรากำหนดให้มีค่าลองติจูดเท่ากับ 0 องศา และเรียกวงกลมใหญ่ที่ผ่านขั้วโลกเหนือและขั้วโลกใต้ว่า เส้นเมอริเดียน เราแบ่งเส้นเมอริเดียนรอบโลกออกเป็น 360 ส่วนเท่าๆ กัน คือไปทางทิศตะวันออก 180 ส่วน และไปทางทิศตะวันตก 180 ส่วน แต่ละส่วนห่างกัน 1 องศา เช่น กรุงเทพฯ มีลองติจูด 101 องศาตะวันออก หมายความว่ากรุงเทพฯ อยู่ทางทิศตะวันออกของเมืองกรีนิช และอยู่ห่างกันเป็นมุม 101 องศา ส่วนค่าละติจูดนั้นได้จากการแบ่งเส้นเมอริเดียนจากขั้วโลกเหนือไปขั้วโลกใต้ 180 ส่วนเท่ากันๆ กัน โดยวัดออกจากเส้นศูนย์สูตรไปทางเหนือและไปทางใต้ เช่น กรุงเทพฯ มีละติจูด 14 องศาเหนือ หมายความว่ากรุงเทพฯ อยู่เหนือเส้นศูนย์สูตร 14 องศา ถ้าแบ่งส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ของโลก (เช่น เส้นศูนย์สูตร) ซึ่งมีความยาว 1 องศา ออกเป็น 60 ส่วนเท่าๆ กัน แต่ละส่วนจะปิดมุม 1 ลิปดา (minute) ที่ศูนย์กลางความยาวของส่วนโค้งของวงกลมใหญ่ 1 ลิปดานี้มีค่าเท่ากับ 6,080 ฟุต เรากำหนดหน่วยความยาว 1 ไมล์ทะเล (nautical mile) เท่ากับ 6,080 ฟุต ซึ่งยาวกว่า 1 ไมล์บก (statute mile) เพราะ 1 ไมล์บกมีความยาวเพียง 5,280 ฟุตเท่านั้น ดังนั้น ระยะทางบนเส้นศูนย์สูตรที่ห่างกัน 1 องศาจึงมีความยาว 60 ไมล์ทะเล


ความเร็วของเรือเดินทะเลกำหนดเป็นนอต (knot) ความเร็ว 1 นอต คือ ความเร็วที่เรือแล่นไปได้ 1 ไมล์ทะเลในเวลา 1 ชั่วโมง ดังนั้นถ้าเรือแล่นไปได้ทาง 6 ไมล์ทะเลในเวลา 15 นาที ก็แสดงว่า เรือมีความเร็ว 24 นอต (ไม่ใช่ 24 นอตต่อชั่วโมง)


ในปัจจุบันนี้มีเครื่องมือวิทยาศาสตร์ใช้วัดระยะทางความสูง ความลึก และความเร็วของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ เครื่องมือนี้คือ เครื่องเรดาร์ (Radar) ซึ่งเป็นเครื่องมืออิเล็กทรอนิกส์ (electronic) เครื่องเรดาร์มีประโยชน์อย่างยิ่งในการทหารนอกจากนี้ยังสามารถนำไปใช้ประโยชน์ทางอุตุนิยมวิทยา และทางการประมงน้ำลึกได้อีกด้วย


ในการวัดระยะทางดาราศาสตร์ ซึ่งเป็นการวัดระยะที่ไกลมาก ถ้าใช้หน่วยความยาวเป็นไมล์หรือเป็นกิโลเมตร จะต้องใช้ตัวเลขจำนวนมากเพื่อบอกระยะทาง ดังนั้นนักดาราศาสตร์จึงคิดหน่วยความยาวขึ้นใหม่ เรียกว่า หน่วยปีแสง (light year) ระยะทาง 1 ปีแสง คือระยะทางที่แสงเดินทางไปในเวลานาน 1 ปี เราทราบว่าแสงมีความเร็ววินาทีละ 186,000 ไมล์ ดังนั้น ระยะทาง 1 ปีแสง จึงเท่ากับ 5.87 x 10 ยกกำลัง12 ไมล์ การวัดระยะทางที่ไกลมากเช่นนี้ต้องใช้สัญญาณวิทยุ เครื่องมือที่ใช้ในการตรวจสอบระยะทาง คือ กล้องโทรทรรศน์วิทยุ (Radio Telescope)